Density estimate from below in relation to a conjecture of A. Zygmund on Lipschitz differentiation

Thierry De Pauw

doi:10.5802/jep.211

Density estimate from below in relation to a conjecture of A. Zygmund on Lipschitz differentiation
[Borne inférieure de densité en lien avec une conjecture de A. Zygmund sur des bases de dérivation à variation lipschitzienne]

Thierry De Pauw ¹

¹ Université Paris Cité and Sorbonne Université, CNRS, IMJ-PRG F-75013 Paris, France

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 9 (2022), pp. 1473-1512.

Résumé
Abstract

On désigne par $𝔾 (n, m)$ la grassmannienne constituée des sous-espaces vectoriels de dimension $m$ dans $ℝ^{n}$ , par $ℒ^{n}$ la mesure de Lebesgue dans $ℝ^{n}$ , par $ℋ^{m}$ la mesure de Hausdorff $m$ -dimensionnelle dans $ℝ^{n}$ et par $α (m) = ℒ^{m} (B (0, 1))$ la mesure de Lebesgue de la boule euclidienne unité de $ℝ^{m}$ . Nous montrons que si $A \subset ℝ^{n}$ est borélien et $W_{0} : A \to 𝔾 (n, m)$ est lipschitzien, alors

\underset{r \to 0^{+}}{lim sup} \frac{ℋ^{m} [A \cap B (x, r) \cap (x + W_{0} (x))]}{α (m) r^{m}} \geq \frac{1}{2^{n}},

pour $ℒ^{n}$ -presque tout $x \in A$ . Il en résulte en particulier que $A$ est $ℒ^{n}$ -négligeable si et seulement si $ℋ^{m} (A \cap (x + W_{0} (x)) = 0$ , pour $ℒ^{n}$ -presque tout $x \in A$ .

Let $𝔾 (n, m)$ be the Grassmannian consisting of $m$ -dimensional vector subspaces of $ℝ^{n}$ , let $ℒ^{n}$ be the Lebesgue measure in $ℝ^{n}$ , let $ℋ^{m}$ be the $m$ -dimensional Hausdorff measure in $ℝ^{n}$ , and let $α (m) = ℒ^{m} (B (0, 1))$ be the Lebesgue measure of the Euclidean unit ball of $ℝ^{m}$ . We establish that, if $A \subset ℝ^{n}$ is Borel measurable and $W_{0} : A \to 𝔾 (n, m)$ is Lipschitzian, then

\underset{r \to 0^{+}}{lim sup} \frac{ℋ^{m} [A \cap B (x, r) \cap (x + W_{0} (x))]}{α (m) r^{m}} \geq \frac{1}{2^{n}},

for $ℒ^{n}$ -almost every $x \in A$ . In particular, it follows that $A$ is $ℒ^{n}$ -negligible if and only if $ℋ^{m} (A \cap (x + W_{0} (x)) = 0$ , for $ℒ^{n}$ -almost every $x \in A$ .

Reçu le : 2022-04-21
Accepté le : 2022-08-03
Publié le : 2022-10-05

DOI : 10.5802/jep.211

Classification : 28A75, 26B15
Keywords: Lebesgue measure, Nikodým set, negligible set, derivation basis, Zygmund conjecture, Lipschitz differentiation
Mot clés : Mesure de Lebesgue, ensemble de Nikodým, ensemble négligeable, base de derivation, conjecture de Zygmund, differentiation lipschitzienne

Affiliations des auteurs :

Thierry De Pauw ¹

¹ Université Paris Cité and Sorbonne Université, CNRS, IMJ-PRG F-75013 Paris, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Thierry De Pauw. Density estimate from below in relation to a conjecture of A. Zygmund on Lipschitz differentiation. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 9 (2022), pp. 1473-1512. doi : 10.5802/jep.211. https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.211/

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