Représentations et quasi-caractères de niveau 0 ; endoscopie
[Representations and quasi-characters of level 0; endoscopy]
Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Volume 8 (2021), pp. 193-278.

Let F be a finite extension of p and let G be a connected reductive group over F. We assume that p is large relatively to G. Let G be an endoscopic group of G. Following Arthur, we have, roughly speaking, a spectral transfer morphism, denoted by transfert, which, to a stable finite linear combination of irreducible admissible representations of G (F), associates a finite linear combination of irreducible admissible representations of G(F). Let p 0,G be the Bernstein’s projector such that, for an irreducible admissible representation π of G(F), we have p 0,G (π)=π if π has level 0 and p 0,G (π)=0 if π has strictly positive level. Define similarly p 0,G . We prove that p 0,G preserves the space of stable finite linear combinations of irreducible admissible representations of G (F) and that p 0,G transfert=transfertp 0,G .

Soient F une extension finie de p et G un groupe réductif connexe défini sur F. On suppose que p est grand relativement à G. Soit G un groupe endoscopique de G. D’après Arthur, il existe un homomorphisme de transfert spectral. Grosso modo, à une combinaison linéaire stable de représentations admissibles et irréductibles de G (F), il associe une combinaison linéaire de représentations admissibles et irréductibles de G(F). On note transfert cet homomorphisme. Notons p 0,G le projecteur de Bernstein tel que, pour une représentation admissible et irréductible π de G(F), on a p 0,G (π)=π si π est de niveau 0 et p 0,G (π)=0 si π est de niveau strictement positif. On définit de même p 0,G . On démontre que p 0,G préserve l’espace des combinaisons linéaires stables de représentations admissibles et irréductibles de G (F) et que p 0,G transfert=transfertp 0,G .

Received:
Accepted:
Published online:
DOI: 10.5802/jep.145
Classification: 22E50
Keywords: Representations of depth 0, endoscopic transfer
Jean-Loup Waldspurger 1

1 CNRS, Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris rive gauche 4 place Jussieu, Boîte courrier 247, 75252 Paris Cedex 05, France
License: CC-BY 4.0
Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights
@article{JEP_2021__8__193_0,
     author = {Jean-Loup Waldspurger},
     title = {Repr\'esentations et quasi-caract\`eres de~niveau~$0$~; endoscopie},
     journal = {Journal de l{\textquoteright}\'Ecole polytechnique {\textemdash} Math\'ematiques},
     pages = {193--278},
     publisher = {\'Ecole polytechnique},
     volume = {8},
     year = {2021},
     doi = {10.5802/jep.145},
     language = {fr},
     url = {https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.145/}
}
TY  - JOUR
TI  - Représentations et quasi-caractères de niveau $0$ ; endoscopie
JO  - Journal de l’École polytechnique — Mathématiques
PY  - 2021
DA  - 2021///
SP  - 193
EP  - 278
VL  - 8
PB  - École polytechnique
UR  - https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.145/
UR  - https://doi.org/10.5802/jep.145
DO  - 10.5802/jep.145
LA  - fr
ID  - JEP_2021__8__193_0
ER  - 
%0 Journal Article
%T Représentations et quasi-caractères de niveau $0$ ; endoscopie
%J Journal de l’École polytechnique — Mathématiques
%D 2021
%P 193-278
%V 8
%I École polytechnique
%U https://doi.org/10.5802/jep.145
%R 10.5802/jep.145
%G fr
%F JEP_2021__8__193_0
Jean-Loup Waldspurger. Représentations et quasi-caractères de niveau $0$ ; endoscopie. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Volume 8 (2021), pp. 193-278. doi : 10.5802/jep.145. https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.145/

[1] J. Arthur - “The local behaviour of weighted orbital integrals”, Duke Math. J. 56 (1988) no. 2, p. 223-293 | DOI | MR | Zbl

[2] J. Arthur - “On elliptic tempered characters”, Acta Math. 171 (1993) no. 1, p. 73-138 | DOI | MR | Zbl

[3] J. Arthur - “On local character relations”, Selecta Math. (N.S.) 2 (1996) no. 4, p. 501-579 | DOI | MR | Zbl

[4] A.-M. Aubert - “Séries de Harish-Chandra de modules et correspondance de Howe modulaire”, J. Algebra 165 (1994) no. 3, p. 576-601 | DOI | MR | Zbl

[5] J. N. Bernstein - “Le “centre” de Bernstein”, in Representations of reductive groups over a local field (J. N. Bernstein, P. Deligne, D. Kazhdan & M.-F. Vignéras, eds.), Travaux en Cours, Hermann, Paris, 1984, p. 1-32, rédigé par P. Deligne

[6] F. Bruhat & J. Tits - “Groupes réductifs sur un corps local : I. Données radicielles valuées”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 41 (1972), p. 5-251 | DOI

[7] W. Casselman - “Characters and Jacquet modules”, Math. Ann. 230 (1977) no. 2, p. 101-105 | DOI | MR | Zbl

[8] S. DeBacker - “Homogeneity results for invariant distributions of a reductive p-adic group”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 35 (2002) no. 3, p. 391-422 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[9] S. DeBacker & M. Reeder - “Depth-zero supercuspidal L-packets and their stability”, Ann. of Math. (2) 169 (2009) no. 3, p. 795-901 | DOI | MR | Zbl

[10] A. Ferrari - “Théorème de l’indice et formule des traces”, Manuscripta Math. 124 (2007) no. 3, p. 363-390 | DOI | MR | Zbl

[11] T. Haines & M. Rapoport - “On parahoric subgroups”, appendice à [28]

[12] Harish-Chandra - Admissible invariant distributions on reductive p-adic groups, University Lecture Series, vol. 16, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, rédigé par S. DeBacker et P. Sally | DOI | MR | Zbl

[13] G. Henniart & M.-F. Vignéras - “A Satake isomorphism for representations modulo p of reductive groups over local fields”, J. reine angew. Math. 701 (2015), p. 33-75 | DOI | MR | Zbl

[14] K. Hiraga - “On functoriality of Zelevinski involutions”, Compositio Math. 140 (2004) no. 6, p. 1625-1656 | DOI | MR | Zbl

[15] D. Kazhdan - “Cuspidal geometry of p-adic groups”, J. Analyse Math. 47 (1986), p. 1-36 | DOI | MR | Zbl

[16] D. Kazhdan & Y. Varshavsky - “Endoscopic decomposition of certain depth zero representations”, in Studies in Lie theory, Progress in Math., vol. 243, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2006, p. 223-301 | DOI | MR | Zbl

[17] J.-L. Kim & F. Murnaghan - “Character expansions and unrefined minimal K-types”, Amer. J. Math. 125 (2003) no. 6, p. 1199-1234 | MR | Zbl

[18] R. E. Kottwitz - “Isocrystals with additional structure. II”, Compositio Math. 109 (1997) no. 3, p. 255-339 | DOI | MR | Zbl

[19] T. Lanard - “Sur les -blocs de niveau zéro des groupes p-adiques”, Compositio Math. 154 (2018) no. 7, p. 1473-1507 | DOI | MR | Zbl

[20] T. Lanard - “Sur les -blocs de niveau zéro des groupes p-adiques II”, 2018 | arXiv

[21] R. P. Langlands - “Stable conjugacy : definitions and lemmas”, Canad. J. Math. 31 (1979) no. 4, p. 700-725 | DOI | MR | Zbl

[22] R. P. Langlands & D. Shelstad - “On the definition of transfer factors”, Math. Ann. 278 (1987) no. 1-4, p. 219-271 | DOI | MR | Zbl

[23] G. Lusztig - “Classification of unipotent representations of simple p-adic groups”, Internat. Math. Res. Notices (1995) no. 11, p. 517-589 | DOI | MR | Zbl

[24] C. Moeglin & J.-L. Waldspurger - Stabilisation de la formule des traces tordue, Progress in Math., vol. 316 & 317, Birkhäuser/Springer, Cham, 2016 | Zbl

[25] A. Moy & G. Prasad - “Unrefined minimal K-types for p-adic groups”, Invent. Math. 116 (1994) no. 1-3, p. 393-408 | DOI | MR | Zbl

[26] A. Moy & G. Prasad - “Jacquet functors and unrefined minimal K-types”, Comment. Math. Helv. 71 (1996) no. 1, p. 98-121 | DOI | MR | Zbl

[27] M. Oi - “Depth preserving property of the local Langlands correspondence for quasi-split classical groups in a large residual characteristic”, 2018 | arXiv

[28] G. Pappas & M. Rapoport - “Twisted loop groups and their affine flag varieties”, Adv. Math. 219 (2008) no. 1, p. 118-198 | DOI | MR | Zbl

[29] G. Prasad - “Finite group actions on reductive groups and buildings and tamely-ramified descent in Bruhat-Tits theory”, Amer. J. Math. 142 (2020) no. 4, p. 1239-1267 | DOI | MR | Zbl

[30] G. Prasad & J.-K. Yu - “On finite group actions on reductive groups and buildings”, Invent. Math. 147 (2002) no. 3, p. 545-560 | DOI | MR | Zbl

[31] M. Solleveld - “On unipotent representations of ramified p-adic groups”, 2019 | arXiv

[32] J. Tits - “Reductive groups over local fields”, in Automorphic forms, representations and L-functions (Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 1, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXXIII, American Mathematical Society, Providence, RI, 1979, p. 29-69 | DOI | Zbl

[33] J.-L. Waldspurger - L’endoscopie tordue n’est pas si tordue, Mem. Amer. Math. Soc., vol. 194 no.  908, American Mathematical Society, Providence, RI, 2008 | DOI | Zbl

[34] J.-L. Waldspurger - “Une formule intégrale reliée à la conjecture locale de Gross-Prasad”, Compositio Math. 146 (2010) no. 5, p. 1180-1290 | DOI | Zbl

[35] J.-L. Waldspurger - “Une formule intégrale reliée à la conjecture locale de Gross-Prasad, 2e partie : extension aux représentations tempérées”, in Sur les conjectures de Gross et Prasad. I, Astérisque, vol. 346, Société Mathématique de France, Paris, 2012, p. 171-312 | Numdam | MR | Zbl

[36] J.-L. Waldspurger - “Caractères de représentations de niveau 0”, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 27 (2018) no. 5, p. 925-984 | DOI | Numdam | MR | Zbl

Cited by Sources: