Homogenization of weakly coercive integral functionals in three-dimensional linear elasticity
[Homogénéisation de fonctionnelles intégrales faiblement coercives en élasticité linéaire tridimensionnelle]
Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 4 (2017) , pp. 483-514.

Dans cet article on étudie la Γ-convergence d’énergies intégrales faiblement coercives, de densité oscillante 𝕃(x/ε)v:v, en élasticité tridimensionnelle. Les énergies sont faiblement coercives du fait que la coercivité fonctionnelle classique satisfaite par le tenseur périodique 𝕃 :

3𝕃(y)v:vdyΛ(𝕃)3|v|2dy,

pour toute fonction régulière v à support compact dans 3 , avec Λ(𝕃)>0, est remplacée par la condition relaxée Λ(𝕃)0. On montre que le tenseur homogénéisé 𝕃 0 reste fortement elliptique ou, de manière équivalente, Λ(𝕃 0 )>0, pour tout tenseur 𝕃=𝕃(y 1 ) vérifiant l’inégalité ponctuelle :

𝕃(y)M:M+D:Cof(M)0,p.p.y3,M3×3,

par l’addition d’un lagrangien nul pour une matrice D 3×3 donnée, et en supposant la coercivité fonctionnelle périodique Λ per (𝕃)>0 (obtenue avec des fonctions test v de gradient périodique). Cependant, on obtient une perte d’ellipticité du tenseur homogénéisé, fondée sur un résultat de Γ-convergence sous la seule hypothèse Λ(𝕃)0, et sur une lamination de rang 2.

This paper deals with the homogenization through Γ-convergence of weakly coercive integral energies, with the oscillating density 𝕃(x/ε)v:v, in three-dimensional elasticity. The energies are weakly coercive in the sense where the classical functional coercivity satisfied by the periodic tensor 𝕃:

3𝕃(y)v:vdyΛ(𝕃)3|v|2dy,

for any smooth function v with compact support in 3 , with Λ(𝕃)>0, is replaced by the relaxed condition Λ(𝕃)0. We prove that the homogenized tensor 𝕃 0 remains strongly elliptic, or equivalently Λ(𝕃 0 )>0, for any tensor 𝕃=𝕃(y 1 ) satisfying the pointwise inequality:

𝕃(y)M:M+D:Cof(M)0,a.e.y3,M3×3,

adding a quadratic null-Lagrangian for some matrix D 3×3 , and assuming the periodic functional coercivity Λ per (𝕃)>0 (using smooth test functions v with periodic gradients). However, we derive rigorously the loss of strong ellipticity for the homogenized tensor, which is based on a Γ-convergence result under the sole assumption Λ(𝕃)0, and on a rank-two lamination.

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DOI : https://doi.org/10.5802/jep.49
Classification : 35B27,  74B05,  74Q15
Mots clés : Élasticité linéaire, ellipticité, homogénéisation, Γ-convergence, lamination
@article{JEP_2017__4__483_0,
     author = {Marc Briane and Antonio Jes\'us Pallares Mart{\'\i}n},
     title = {Homogenization of weakly coercive integral functionals in three-dimensional linear elasticity},
     journal = {Journal de l{\textquoteright}\'Ecole polytechnique {\textemdash} Math\'ematiques},
     pages = {483--514},
     publisher = {\'Ecole polytechnique},
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     year = {2017},
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Marc Briane; Antonio Jesús Pallares Martín. Homogenization of weakly coercive integral functionals in three-dimensional linear elasticity. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 4 (2017) , pp. 483-514. doi : 10.5802/jep.49. https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.49/

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