Homogenization of weakly coercive integral functionals in three-dimensional linear elasticity

Marc Briane; Antonio Jesús Pallares Martín

doi:10.5802/jep.49

Homogenization of weakly coercive integral functionals in three-dimensional linear elasticity
[Homogénéisation de fonctionnelles intégrales faiblement coercives en élasticité linéaire tridimensionnelle]

Marc Briane ¹ ; Antonio Jesús Pallares Martín ²

¹ IRMAR & INSA Rennes 20 avenue des Buttes de Coësmes, 35708 Rennes Cedex 7, France
² Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla Apartado 1160, 41080 Sevilla

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 4 (2017), pp. 483-514.

Résumé
Abstract

Dans cet article on étudie la $Γ$ -convergence d’énergies intégrales faiblement coercives, de densité oscillante $𝕃 (x / ε) \nabla v : \nabla v$ , en élasticité tridimensionnelle. Les énergies sont faiblement coercives du fait que la coercivité fonctionnelle classique satisfaite par le tenseur périodique $𝕃$ :

\int_{ℝ^{3}} 𝕃 (y) \nabla v : \nabla v d y \geq Λ (𝕃) \int_{ℝ^{3}} {| \nabla v |}^{2} d y,

pour toute fonction régulière $v$ à support compact dans $ℝ^{3}$ , avec $Λ (𝕃) > 0$ , est remplacée par la condition relaxée $Λ (𝕃) \geq 0$ . On montre que le tenseur homogénéisé $𝕃^{0}$ reste fortement elliptique ou, de manière équivalente, $Λ (𝕃^{0}) > 0$ , pour tout tenseur $𝕃 = 𝕃 (y_{1})$ vérifiant l’inégalité ponctuelle :

𝕃 (y) M : M + D : Cof (M) \geq 0, p.p. y \in ℝ^{3}, \forall M \in ℝ^{3 \times 3},

par l’addition d’un lagrangien nul pour une matrice $D \in ℝ^{3 \times 3}$ donnée, et en supposant la coercivité fonctionnelle périodique $Λ_{per} (𝕃) > 0$ (obtenue avec des fonctions test $v$ de gradient périodique). Cependant, on obtient une perte d’ellipticité du tenseur homogénéisé, fondée sur un résultat de $Γ$ -convergence sous la seule hypothèse $Λ (𝕃) \geq 0$ , et sur une lamination de rang $2$ .

This paper deals with the homogenization through $Γ$ -convergence of weakly coercive integral energies, with the oscillating density $𝕃 (x / ε) \nabla v : \nabla v$ , in three-dimensional elasticity. The energies are weakly coercive in the sense where the classical functional coercivity satisfied by the periodic tensor $𝕃$ :

\int_{ℝ^{3}} 𝕃 (y) \nabla v : \nabla v d y \geq Λ (𝕃) \int_{ℝ^{3}} {| \nabla v |}^{2} d y,

for any smooth function $v$ with compact support in $ℝ^{3}$ , with $Λ (𝕃) > 0$ , is replaced by the relaxed condition $Λ (𝕃) \geq 0$ . We prove that the homogenized tensor $𝕃^{0}$ remains strongly elliptic, or equivalently $Λ (𝕃^{0}) > 0$ , for any tensor $𝕃 = 𝕃 (y_{1})$ satisfying the pointwise inequality:

𝕃 (y) M : M + D : Cof (M) \geq 0, a.e. y \in ℝ^{3}, \forall M \in ℝ^{3 \times 3},

adding a quadratic null-Lagrangian for some matrix $D \in ℝ^{3 \times 3}$ , and assuming the periodic functional coercivity $Λ_{per} (𝕃) > 0$ (using smooth test functions $v$ with periodic gradients). However, we derive rigorously the loss of strong ellipticity for the homogenized tensor, which is based on a $Γ$ -convergence result under the sole assumption $Λ (𝕃) \geq 0$ , and on a rank-two lamination.

Reçu le : 2016-07-24
Accepté le : 2017-03-29
Publié le : 2017-04-09

MR Zbl

DOI : 10.5802/jep.49

Classification : 35B27, 74B05, 74Q15
Keywords: Linear elasticity, ellipticity, homogenization, $\Gamma $-convergence, lamination
Mot clés : Élasticité linéaire, ellipticité, homogénéisation, $\Gamma $-convergence, lamination

Affiliations des auteurs :

Marc Briane ¹ ; Antonio Jesús Pallares Martín ²

¹ IRMAR & INSA Rennes 20 avenue des Buttes de Coësmes, 35708 Rennes Cedex 7, France
² Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla Apartado 1160, 41080 Sevilla

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Marc Briane; Antonio Jesús Pallares Martín. Homogenization of weakly coercive integral functionals in three-dimensional linear elasticity. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 4 (2017), pp. 483-514. doi : 10.5802/jep.49. https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.49/

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