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A spectral ansatz for the long-time homogenization of the wave equation
[Un ansatz spectral pour l’homogénéisation de l’équation des ondes en temps long]
Mitia Duerinckx1 ; Antoine Gloria2 ; Matthias Ruf3
1 Université Libre de Bruxelles, Département de Mathématique, 1050 Brussels, Belgium
2 Sorbonne Université, CNRS, Université de Paris, Laboratoire Jacques-Louis Lions, 75005 Paris, France & Institut Universitaire de France & Université Libre de Bruxelles, Département de Mathématique, 1050 Brussels, Belgium
3 École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Section de mathématiques, 1015 Lausanne, Switzerland
Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 11 (2024), pp. 523-587.

On considère l’équation des ondes en milieux hétérogènes dans le régime d’homogénéisation. En temps long, l’onde interagit de façon non triviale avec les hétérogénéités, donnant lieu à des effets dispersifs. Le résultat principal de ce travail est un nouvel ansatz pour le développement à deux échelles en temps long, inspiré par une analyse spectrale. Sur la base de cet ansatz spectral, nous étendons et raffinons tous les résultats précédents du domaine : nous obtenons un résultat d’homogénéisation valable jusqu’à l’échelle de temps optimale avec des estimations d’erreur optimales, et nous couvrons à la fois le cas d’hétérogénéités périodiques et aléatoires stationnaires.

Consider the wave equation with heterogeneous coefficients in the homogenization regime. At large times, the wave interacts in a nontrivial way with the heterogeneities, giving rise to effective dispersive effects. The main achievement of the present work is a new ansatz for the long-time two-scale expansion inspired by spectral analysis. Based on this spectral ansatz, we extend and refine all previous results in the field, proving homogenization up to optimal timescales with optimal error estimates, and covering all the standard assumptions on heterogeneities (both periodic and stationary random settings).

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DOI : 10.5802/jep.259
Classification : 35B27, 35B40, 35C20, 35L05, 74Q10, 74Q15, 74H40, 35B30, 35P05
Keywords: Wave equation, long-time homogenization, heterogeneous medium, effective equations, two-scale expansions, spectral correctors
Mot clés : Équation des ondes, homogénéisation en temps long, milieux hétérogènes, équations effectives, développements à deux échelles, correcteurs spectraux
Mitia Duerinckx 1 ; Antoine Gloria 2 ; Matthias Ruf 3

1 Université Libre de Bruxelles, Département de Mathématique, 1050 Brussels, Belgium
2 Sorbonne Université, CNRS, Université de Paris, Laboratoire Jacques-Louis Lions, 75005 Paris, France & Institut Universitaire de France & Université Libre de Bruxelles, Département de Mathématique, 1050 Brussels, Belgium
3 École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Section de mathématiques, 1015 Lausanne, Switzerland
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Mitia Duerinckx; Antoine Gloria; Matthias Ruf. A spectral ansatz for the long-time homogenization of the wave equation. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 11 (2024), pp. 523-587. doi : 10.5802/jep.259. https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.259/

[1] A. Abdulle & T. Pouchon - “Effective models and numerical homogenization for wave propagation in heterogeneous media on arbitrary timescales”, Found. Comput. Math. 20 (2020) no. 6, p. 1505-1547 | DOI | MR | Zbl

[2] G. Allaire, M. Briane & M. Vanninathan - “A comparison between two-scale asymptotic expansions and Bloch wave expansions for the homogenization of periodic structures”, SeMA J. 73 (2016) no. 3, p. 237-259 | DOI | MR | Zbl

[3] G. Allaire, A. Lamacz-Keymling & J. Rauch - “Crime pays; homogenized wave equations for long times”, Asymptotic Anal. 128 (2022) no. 3, p. 295-336 | DOI | MR | Zbl

[4] S. Armstrong, T. Kuusi & J.-C. Mourrat - Quantitative stochastic homogenization and large-scale regularity, Grundlehren Math. Wissen., vol. 352, Springer, Cham, 2019 | DOI

[5] A. Benoit & A. Gloria - “Long-time homogenization and asymptotic ballistic transport of classical waves”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 52 (2019) no. 3, p. 703-759 | DOI | MR | Zbl

[6] A. Bensoussan, J.-L. Lions & G. Papanicolaou - Asymptotic analysis for periodic structures, Studies in Math. and its Appl., vol. 5, North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1978

[7] S. Brahim-Otsmane, G. A. Francfort & F. Murat - “Correctors for the homogenization of the wave and heat equations”, J. Math. Pures Appl. (9) 71 (1992) no. 3, p. 197-231 | MR | Zbl

[8] C. I. Christov, G. A. Maugin & M. G. Velarde - “Well-posed Boussinesq paradigm with purely spatial higher-order derivatives”, Phys. Rev. E 54 (1996), p. 3621-3638 | DOI

[9] T. Dohnal, A. Lamacz & B. Schweizer - “Bloch-wave homogenization on large time scales and dispersive effective wave equations”, Multiscale Model. Simul. 12 (2014) no. 2, p. 488-513 | DOI | MR | Zbl

[10] T. Dohnal, A. Lamacz & B. Schweizer - “Dispersive homogenized models and coefficient formulas for waves in general periodic media”, Asymptotic Anal. 93 (2015) no. 1-2, p. 21-49 | DOI | MR | Zbl

[11] M. Duerinckx, J. Fischer & A. Gloria - “Scaling limit of the homogenization commutator for Gaussian coefficient fields”, Ann. Appl. Probab. 32 (2022) no. 2, p. 1179-1209 | DOI | MR | Zbl

[12] M. Duerinckx & A. Gloria - “Large-scale dispersive estimates for acoustic operators: homogenization meets localization”, 2023 | arXiv

[13] M. Duerinckx, A. Gloria & F. Otto - “The structure of fluctuations in stochastic homogenization”, Comm. Math. Phys. 377 (2020) no. 1, p. 259-306 | DOI | MR | Zbl

[14] M. Duerinckx, A. Gloria & C. Shirley - “Approximate normal forms via Floquet-Bloch theory: Nehorošev stability for linear waves in quasiperiodic media”, Comm. Math. Phys. 383 (2021) no. 2, p. 633-683 | DOI | Zbl

[15] M. Duerinckx & F. Otto - “Higher-order pathwise theory of fluctuations in stochastic homogenization”, Stochastic Partial Differ. Equ. Anal. Comput. 8 (2020) no. 3, p. 625-692 | DOI | MR | Zbl

[16] M. Duerinckx & C. Shirley - “A new spectral analysis of stationary random Schrödinger operators”, J. Math. Phys. 62 (2021) no. 7, article ID 072106, 50 pages | DOI | Zbl

[17] A. Gloria, S. Neukamm & F. Otto - “A regularity theory for random elliptic operators”, Milan J. Math. 88 (2020) no. 1, p. 99-170 | DOI | MR | Zbl

[18] A. Gloria, S. Neukamm & F. Otto - “Quantitative estimates in stochastic homogenization for correlated coefficient fields”, Anal. PDE 14 (2021) no. 8, p. 2497-2537 | DOI | MR | Zbl

[19] A. Gloria & F. Otto - “An optimal variance estimate in stochastic homogenization of discrete elliptic equations”, Ann. Probab. 39 (2011) no. 3, p. 779-856 | DOI | MR | Zbl

[20] A. Gloria & F. Otto - “Quantitative results on the corrector equation in stochastic homogenization”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 19 (2017) no. 11, p. 3489-3548 | DOI | MR | Zbl

[21] Y. Gu - “High order correctors and two-scale expansions in stochastic homogenization”, Probab. Theory Related Fields 169 (2017) no. 3-4, p. 1221-1259 | DOI | MR | Zbl

[22] T. Kato - Perturbation theory for linear operators, Classics in Math., Springer-Verlag, Berlin, 1995 | DOI

[23] A. Lamacz - “Dispersive effective models for waves in heterogeneous media”, Math. Models Methods Appl. Sci. 21 (2011) no. 9, p. 1871-1899 | DOI | MR | Zbl

[24] T. Pouchon - Effective models and numerical homogenization methods for long time wave propagation in heterogeneous media, Ph. D. Thesis, EPFL, Lausanne, 2017

[25] F. Santosa & W. W. Symes - “A dispersive effective medium for wave propagation in periodic composites”, SIAM J. Appl. Math. 51 (1991) no. 4, p. 984-1005 | DOI | MR | Zbl

[26] M. Schäffner & B. Schweizer - “The time horizon for stochastic homogenization of the 1-dimensional wave equation” (2023), Preprint

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