On the constituents of the mod $p$ cohomology of Shimura curves

Christophe Breuil; Florian Herzig; Yongquan Hu; Stefano Morra; Benjamin Schraen

doi:10.5802/jep.346

On the constituents of the mod $p$ cohomology of Shimura curves
[Sur les constituants de la cohomologie modulo $p$ des courbes de Shimura]

Christophe Breuil ¹ ; Florian Herzig ² ; Yongquan Hu ³ ; Stefano Morra ⁴ ; Benjamin Schraen ⁵

¹CNRS, Bâtiment 307, Faculté d’Orsay, Université Paris-Saclay, 91405 Orsay Cedex, France
²Dept. of Math., Univ. of Toronto, 40 St. George St., BA6290, Toronto, ON M5S 2E4, Canada
³Morningside Center of Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China
⁴Lab. d’Analyse, Géométrie, Algèbre, 99 Av. Jean Baptiste Clément, 93430 Villetaneuse, France, & Institut Universitaire de France (IUF)
⁵Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon I, 69622 Villeurbanne, France, & Institut Universitaire de France (IUF)

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 13 (2026), pp. 1185-1273

Abstract (VO)
Résumé

Let $p$ be a prime number and $K$ a finite unramified extension of $\mathbb{Q}_p$. When $p$ is large enough with respect to $[K:\mathbb{Q}_p]$, and under mild genericity assumptions, we proved in our previous work that the admissible smooth representations $\pi $ of $\mathrm{GL}_2(K)$ which occur in Hecke eigenspaces of the mod $p$ cohomology of Shimura curves are of finite length. In this paper, we obtain various refined results about the structure of subquotients of $\pi $, such as their Iwahori-socle filtrations and $K_1$-invariants, where $K_1$ is the principal congruence subgroup of $\mathrm{GL}_2(\mathcal{O}_K)$. We also determine the Hilbert series of $\pi $ as a Iwahori-representation under these conditions.

Soit $p$ un nombre premier et $K$ une extension finie non ramifiée de $\mathbb{Q}_p$. Lorsque $p$ est suffisamment grand par rapport à $[K:\mathbb{Q}_p]$ et sous de légères hypothèses de généricité, nous avons prouvé dans notre travail précédent que les représentations lisses admissibles $\pi $ de $\mathrm{GL}_2(K)$ qui apparaissent dans les espaces propres de Hecke de la cohomologie modulo $p$ des courbes de Shimura sont de longueur finie. Dans cet article, nous obtenons divers résultats fins sur la structure des sous-quotients de $\pi $, tels que les filtrations de leur socle d’Iwahori et leurs invariants sous $K_1$, où $K_1$ est le sous-groupe de congruence principal de $\mathrm{GL}_2(\mathcal{O}_K)$. Nous déterminons également la série de Hilbert de $\pi $ en tant que représentation d’Iwahori sous ces conditions.

Détail
Citer cet article

Reçu le : 2025-06-19
Accepté le : 2026-07-13
Publié le : 2026-07-30

DOI : 10.5802/jep.346

Classification : 11F33, 11G18, 22E50, 11F70, 11S37
Keywords: Shimura curves, mod $p$ cohomology, Hecke eigenspaces, Serre weights, smooth admissible representations, Iwahori socle filtration, mod $p$ Galois representations, mod $p$ Langlands program
Mots-clés : Courbes de Shimura, cohomologie modulo $p$, espaces propres de Hecke, poids de Serre, représentations lisses admissibles, filtration du socle d’Iwahori, représentations galoisienne $\bmod p$, programme de Langlands mod $p$

Affiliations des auteurs :

Christophe Breuil ¹ ; Florian Herzig ² ; Yongquan Hu ³ ; Stefano Morra ⁴ ; Benjamin Schraen ⁵

¹ CNRS, Bâtiment 307, Faculté d’Orsay, Université Paris-Saclay, 91405 Orsay Cedex, France
² Dept. of Math., Univ. of Toronto, 40 St. George St., BA6290, Toronto, ON M5S 2E4, Canada
³ Morningside Center of Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China
⁴ Lab. d’Analyse, Géométrie, Algèbre, 99 Av. Jean Baptiste Clément, 93430 Villetaneuse, France, & Institut Universitaire de France (IUF)
⁵ Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon I, 69622 Villeurbanne, France, & Institut Universitaire de France (IUF)

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

Christophe Breuil; Florian Herzig; Yongquan Hu; Stefano Morra; Benjamin Schraen. On the constituents of the mod $p$ cohomology of Shimura curves. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 13 (2026), pp. 1185-1273. doi: 10.5802/jep.346

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