[Propriétés ergodiques de l’extension infinie des transformations d’échange d’intervalles symétriques]
We prove that skew products with the cocycle given by the function $f(x)=a(x-1/2)$ with $a\ne 0$ are ergodic for every ergodic symmetric IET in the base, thus giving the full characterization of ergodic extensions in this family. Moreover, we prove that under an additional natural assumption of unique ergodicity on the IET, we can replace $f$ with any differentiable function with a non-zero sum of jumps. Finally, by considering weakly mixing IETs instead of just ergodic, we show that the skew products with cocycle given by $f$ have infinite ergodic index.
Nous prouvons que les produits tordus par le cocycle donné par la fonction $f(x)=a(x-1/2)$ avec $a\ne 0$ sont ergodiques pour chaque transformation d’échange d’intervalles (IET) symétrique ergodique dans la base, donnant ainsi la caractérisation complète des extensions ergodiques dans cette famille. De plus, nous prouvons que sous une hypothèse naturelle supplémentaire d’unique ergodicité sur l’IET, nous pouvons remplacer $f$ par n’importe quelle fonction différentiable avec une somme de sauts non nulle. Enfin, en considérant des IET faiblement mélangeantes au lieu de simplement ergodiques, nous montrons que les produits tordus dont le cocycle est donné par $f$ ont un indice ergodique infini.
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Keywords: Interval exchange transformations, ergodicity of systems preserving infinite measures
Mots-clés : Transformations d’échange d’intervalles, ergodicité de systèmes préservant des mesures infinies
Przemysław Berk 1 ; Frank Trujillo 2 ; Hao Wu 3
CC-BY 4.0
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Przemysław Berk; Frank Trujillo; Hao Wu. Ergodic properties of infinite extension of symmetric interval exchange transformations. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 12 (2025), pp. 853-880. doi : 10.5802/jep.302. https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.302/
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