Galois irreducibility implies cohomology freeness for KHT Shimura varieties

Pascal Boyer

doi:10.5802/jep.216

Galois irreducibility implies cohomology freeness for KHT Shimura varieties
[L’irréductibilité galoisienne implique la liberté cohomologique pour les variétés de Shimura de type KHT]

Pascal Boyer ¹

¹ Université Sorbonne Paris Nord, LAGA, CNRS, UMR 7539 99 avenue J.-B. Clément, F-93430 Villetaneuse, France

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 10 (2023), pp. 199-232.

Résumé
Abstract

Étant donnée une variété de Shimura unitaire de type KHT de dimension relative $d - 1$ sur son corps reflex $F$ et munie de l’action de son algèbre de Hecke $𝕋$ non ramifiée, nous prouvons dans [7], voir aussi [12] pour les autres variétés de Shimura de type PEL, que ses groupes de ${\bar{ℤ}}_{ℓ}$ -cohomologie localisés en un idéal maximal générique $𝔪$ de $𝕋$ , sont libres. Dans ce travail, sous l’hypothèse que $[F (exp (2 i π / ℓ) : F] > d$ , nous montrons le même résultat pour $𝔪$ tel que sa ${\bar{𝔽}}_{ℓ}$ -représentation galoisienne associée, $\bar{ρ_{𝔪}}$ , est irréductible.

Given a KHT Shimura variety with an action of its unramified Hecke algebra $𝕋$ , we proved in [7], see also [12] for other PEL Shimura varieties, that its localized cohomology groups at a generic maximal ideal $𝔪$ of $𝕋$ , happen to be free. In this work, we obtain the same result for $𝔪$ such that its associated Galois ${\bar{𝔽}}_{ℓ}$ -representation $\bar{ρ_{𝔪}}$ is irreducible, under the hypothesis that $[F (exp (2 i π / ℓ) : F] > d$ , where $F$ is the reflex field, $d$ the dimension of the KHT Shimura variety and $ℓ$ the residual characteristic.

Reçu le : 2021-03-29
Accepté le : 2023-01-12
Publié le : 2023-01-26

DOI : 10.5802/jep.216

Classification : 11F70, 11F80, 11F85, 11G18, 20C08
Keywords: Shimura varieties, torsion in the cohomology, maximal ideal of the Hecke algebra, localized cohomology, Galois representation
Mot clés : Variétés de Shimura, torsion dans la cohomologie, algèbres de Hecke, localisation de la cohomologie, représentations galoisiennes

Affiliations des auteurs :

Pascal Boyer ¹

¹ Université Sorbonne Paris Nord, LAGA, CNRS, UMR 7539 99 avenue J.-B. Clément, F-93430 Villetaneuse, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Pascal Boyer. Galois irreducibility implies cohomology freeness for KHT Shimura varieties. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 10 (2023), pp. 199-232. doi : 10.5802/jep.216. https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.216/

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