Geometric and probabilistic results for the observability of the wave equation
[Résultats géométriques et probabilistes pour l’observabilité de l’équation des ondes]
Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 9 (2022), pp. 431-461.

Étant donné un sous-ensemble mesurable ω d’une variété riemannienne compacte et étant donné T>0, on définit T (ω)[0,1] comme étant le plus petit temps moyen passé par les rayons géodésiques dans ω. Notre premier résultat principal, qui est de nature géométrique, établit que, sous des conditions de régularité, T peut augmenter au maximum de 1/2 en passant à l’adhérence. Notre second résultat principal est de nature probabiliste : considérant un damier régulier sur le tore plat de dimension 2 formé de n 2 carrés blancs, construisant des ensembles aléatoires ω ε n en noircissant les carrés de manière aléatoire avec probabilité ε, on montre que la variable aléatoire T (ω ε n ) converge en probabilité vers ε lorsque n+. Nous discutons les conséquences en termes d’observabilité de l’équation des ondes.

Given any measurable subset ω of a closed Riemannian manifold and given any T>0, we define T (ω)[0,1] as the smallest average time over [0,T] spent by all geodesic rays in ω. Our first main result, which is of geometric nature, states that, under regularity assumptions, 1/2 is the maximal possible discrepancy of T when taking the closure. Our second main result is of probabilistic nature: considering a regular checkerboard on the flat two-dimensional torus made of n 2 square white cells, constructing random subsets ω ε n by darkening cells randomly with a probability ε, we prove that the random law T (ω ε n ) converges in probability to ε as n+. We discuss the consequences in terms of observability of the wave equation.

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DOI : 10.5802/jep.186
Classification : 93B07, 53C22, 60B10
Keywords: Observability, wave equation, Riemannian geometry, random set
Mot clés : Observabilité, équation des ondes, géométrie riemannienne, ensemble aléatoire
Emmanuel Humbert 1 ; Yannick Privat 2 ; Emmanuel Trélat 3

1 Institut Denis Poisson, UFR Sciences et Technologie, Faculté François Rabelais Parc de Grandmont, 37200 Tours, France
2 IRMA, Université de Strasbourg, CNRS UMR 7501 7 rue René Descartes, 67084 Strasbourg, France & Institut Universitaire de France (IUF)
3 Sorbonne Université, CNRS, Université de Paris, Inria, Laboratoire Jacques-Louis Lions (LJLL) F-75005 Paris, France
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
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Cité par Sources :