Groupes $p$-divisibles avec condition de Pappas-Rapoport et invariants de Hasse

Stéphane Bijakowski; Valentin Hernandez

doi:10.5802/jep.60

Groupes

p

-divisibles avec condition de Pappas-Rapoport et invariants de Hasse

Stéphane Bijakowski ¹ ; Valentin Hernandez ²

¹ Imperial College, Department of Mathematics 180 Queen’s Gate, London SW7 2AZ, UK
² IMJ-PRG, Université Paris 6 4 place Jussieu, 75005 Paris, France

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 4 (2017), pp. 935-972.

Résumé
Abstract

Nous étudions les groupes $p$ -divisibles $G$ munis d’une action de l’anneau des entiers d’une extension finie (possiblement ramifiée) de $ℚ_{p}$ sur un schéma de caractéristique $p$ . Nous supposons de plus que le groupe $p$ -divisible satisfait à la condition de Pappas-Rapoport pour une certaine donnée $μ$ ; cette condition consiste en une filtration sur le faisceau des différentielles $ω_{G}$ satisfaisant certaines propriétés. Sur un corps parfait, nous définissons les polygones de Hodge et de Newton pour de tels groupes $p$ -divisibles, en tenant compte de l’action. Nous montrons que le polygone de Newton est au-dessus du polygone de Hodge, lui-même au-dessus d’un certain polygone dépendant de la donnée $μ$ .

Nous construisons ensuite des invariants de Hasse pour de tels groupes $p$ -divisibles sur une base arbitraire de caractéristique $p$ . Nous prouvons que l’invariant de Hasse total est non nul si et seulement si le groupe $p$ -divisible est $μ$ -ordinaire, c’est-à-dire si son polygone de Newton est minimal. Enfin, nous étudions les propriétés des groupes $p$ -divisibles $μ$ -ordinaires.

La construction des invariants de Hasse s’applique en particulier aux fibres spéciales des modèles des variétés de Shimura PEL construits par Pappas et Rapoport.

We study $p$ -divisible groups $G$ endowed with an action of the ring of integers of a finite (possibly ramified) extension of $ℚ_{p}$ over a scheme of characteristic $p$ . We suppose moreover that the $p$ -divisible group $G$ satisfies the Pappas-Rapoport condition for a certain datum $μ$ ; this condition consists in a filtration on the sheaf of differentials $ω_{G}$ satisfying certain properties. Over a perfect field, we define the Hodge and Newton polygons for such $p$ -divisible groups, normalized with the action. We show that the Newton polygon lies above the Hodge polygon, itself lying above a certain polygon depending on the datum $μ$ .

We then construct Hasse invariants for such $p$ -divisible groups over an arbitrary base scheme of characteristic $p$ . We prove that the total Hasse invariant is non-zero if and only if the $p$ -divisible group is $μ$ -ordinary, i.e., if its Newton polygon is minimal. Finally, we study the properties of $μ$ -ordinary $p$ -divisible groups.

The construction of the Hasse invariants can in particular be applied to special fibers of PEL Shimura varieties models as constructed by Pappas and Rapoport.

Reçu le : 2016-11-27
Accepté le : 2017-08-30
Publié le : 2017-10-02

DOI : 10.5802/jep.60

Classification : 14L05, 11G18, 11G25, 11G15
Mot clés : Groupes $p$-divisibles, $F$-cristal, données de Pappas-Rapoport, invariants de Hasse, $\mu $-ordinaire
Keywords: $p$-divisible groups, $F$-crystal, Pappas-Rapoport datum, Hasse invariants, $\mu $-ordinary

Affiliations des auteurs :

Stéphane Bijakowski ¹ ; Valentin Hernandez ²

¹ Imperial College, Department of Mathematics 180 Queen’s Gate, London SW7 2AZ, UK
² IMJ-PRG, Université Paris 6 4 place Jussieu, 75005 Paris, France

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

@article{JEP_2017__4__935_0,
     author = {St\'ephane Bijakowski and Valentin Hernandez},
     title = {Groupes $p$-divisibles avec condition {de~Pappas-Rapoport} et invariants de {Hasse}},
     journal = {Journal de l{\textquoteright}\'Ecole polytechnique {\textemdash} Math\'ematiques},
     pages = {935--972},
     publisher = {\'Ecole polytechnique},
     volume = {4},
     year = {2017},
     doi = {10.5802/jep.60},
     mrnumber = {3714367},
     language = {fr},
     url = {https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.60/}
}

TY  - JOUR
AU  - Stéphane Bijakowski
AU  - Valentin Hernandez
TI  - Groupes $p$-divisibles avec condition de Pappas-Rapoport et invariants de Hasse
JO  - Journal de l’École polytechnique — Mathématiques
PY  - 2017
SP  - 935
EP  - 972
VL  - 4
PB  - École polytechnique
UR  - https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.60/
DO  - 10.5802/jep.60
LA  - fr
ID  - JEP_2017__4__935_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Stéphane Bijakowski
%A Valentin Hernandez
%T Groupes $p$-divisibles avec condition de Pappas-Rapoport et invariants de Hasse
%J Journal de l’École polytechnique — Mathématiques
%D 2017
%P 935-972
%V 4
%I École polytechnique
%U https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.60/
%R 10.5802/jep.60
%G fr
%F JEP_2017__4__935_0

Stéphane Bijakowski; Valentin Hernandez. Groupes $p$-divisibles avec condition de Pappas-Rapoport et invariants de Hasse. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 4 (2017), pp. 935-972. doi : 10.5802/jep.60. https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.60/

Bibliographie
Cité par

[BBM82] P. Berthelot, L. Breen & W. Messing - Théorie de Dieudonné cristalline. II, Lect. Notes in Math., vol. 930, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1982 | Zbl

[Bij15] S. Bijakowski - “Partial Hasse invariants, partial degrees and the canonical subgroup” (2015), à paraître dans Canad. J. Math., arXiv :1508.07604 | Zbl

[Box15] G. Boxer - “Torsion in the coherent cohomology of Shimura varieties and Galois representations” (2015), arXiv :1507.05922 | MR

[DS74] P. Deligne & J.-P. Serre - “Formes modulaires de poids 1”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 7 (1974), p. 507-530 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[EvdG09] T. Ekedahl & G. van der Geer - “Cycle classes of the EO stratification on the moduli of abelian varieties”, in Algebra, arithmetic, and geometry : in honor of Yu. I. Manin. Vol. I, Progress in Math., vol. 269, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2009, p. 567-636 | DOI | Zbl

[FGL08] L. Fargues, A. Genestier & V. Lafforgue - L’isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld, Progress in Math., vol. 262, Birkhäuser Verlag, Basel, 2008 | MR | Zbl

[Fon77] J.-M. Fontaine - Groupes $p$ -divisibles sur les corps locaux, Astérisque, vol. 47-48, Société Mathématique de France, Paris, 1977 | Numdam | Zbl

[GK15] W. Goldring & J.-S. Koskivirta - “Strata Hasse invariants, Hecke algebras and Galois representations” (2015), arXiv :1507.05032

[GN17] W. Goldring & M.-H. Nicole - “The $μ$ -ordinary Hasse invariant of unitary Shimura varieties”, J. reine angew. Math. 728 (2017), p. 137-151 | MR | Zbl

[Her16] V. Hernandez - “Invariants de Hasse $μ$ -ordinaires” (2016), arXiv :1608.06176 | Zbl

[Kat79] N. M. Katz - “Slope filtration of F-crystals”, in Journées de Géométrie Algébrique de Rennes (Rennes, 1978), Vol. I, Astérisque, vol. 63, Société Mathématique de France, Paris, 1979, p. 113-164 | Numdam | MR | Zbl

[Kot97] R. E. Kottwitz - “Isocrystals with additional structure. II”, Compositio Math. 109 (1997) no. 3, p. 255-339 | DOI | MR | Zbl

[KW14] J.-S. Koskivirta & T. Wedhorn - “Generalized Hasse invariants for Shimura varieties of Hodge type” (2014), arXiv :1406.2178

[Mes72] W. Messing - “The crystals associated to Barsotti-Tate groups”, in The crystals associated to Barsotti-Tate groups : with applications to abelian schemes, Springer, 1972, p. 112-149 | Zbl

[Moo04] B. Moonen - “Serre-Tate theory for moduli spaces of PEL type”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 37 (2004) no. 2, p. 223-269 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[MV10] E. Mantovan & E. Viehmann - “On the Hodge-Newton filtration for $p$ -divisible $𝒪$ -modules”, Math. Z. 266 (2010) no. 1, p. 193-205 | DOI | MR | Zbl

[NO80] P. Norman & F. Oort - “Moduli of abelian varieties”, Ann. of Math. (2) 112 (1980), p. 413-439 | DOI | MR | Zbl

[PR05] G. Pappas & M. Rapoport - “Local models in the ramified case. II : Splitting models”, Duke Math. J. 127 (2005) no. 2, p. 193-250 | DOI | MR | Zbl

[Rap05] M. Rapoport - “A guide to the reduction modulo $p$ of Shimura varieties”, in Formes automorphes (I), Astérisque, vol. 298, Société Mathématique de France, Paris, 2005, p. 271-318 | Zbl

[RR96] M. Rapoport & M. Richartz - “On the classification and specialization of $F$ -isocrystals with additional structure”, Compositio Math. 103 (1996) no. 2, p. 153-181 | Numdam | MR | Zbl

[RX17] D. A. Reduzzi & L. Xiao - “Partial Hasse invariants on splitting models of Hilbert modular varieties”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 50 (2017) no. 3, p. 579-607 | DOI | MR | Zbl

[Ser73] J.-P. Serre - “Formes modulaires et fonctions zêta $p$ -adiques”, in Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), Lect. Notes in Math., vol. 350, Springer, Berlin, 1973, p. 191-268 | DOI | Zbl

[Wed99] T. Wedhorn - “Ordinariness in good reductions of Shimura varieties of PEL-type”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 32 (1999) no. 5, p. 575-618 | DOI | Numdam | MR | Zbl

Cité par Sources :