Représentations linéaires des groupes kählériens et de leurs analogues projectifs
[Linear representations of Kähler groups and of their projective analogues]
Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Volume 1 (2014), pp. 331-342.

In this note we establish the following result, announced in [CCE13]: if GGL n () is the image of a linear representation of a Kähler group π 1 (X), then it has a subgroup of finite index which is the image of a linear representation of the fundamental group of some smooth complex projective variety X ' .

This result provides thus, for linear representations, the solution (up to finite index) of a usual question asking if the fundamental group of a compact Kähler manifold X is also that of a smooth complex projective variety.

Dans cette note nous établissons le résultat suivant, annoncé dans [CCE13] : si GGL n () est l’image d’une représentation linéaire d’un groupe kählérien π 1 (X), il admet un sous-groupe d’indice fini qui est l’image d’une représentation linéaire du groupe fondamental d’une variété projective complexe lisse X ' .

Il s’agit donc de la solution (à indice fini près) pour les représentations linéaires d’une question usuelle demandant si le groupe fondamental d’une variété kählérienne compacte est aussi celui d’une variété projective complexe lisse.

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DOI: 10.5802/jep.12
Classification: 32Q15, 32Q55, 32G05, 14D07
Mot clés : Groupes kählériens, problème de Kodaira, famille lisse de tores complexes, déformations relatives
Keywords: Kähler groups, Kodaira problem, smooth family of complex tori, relative deformations

Fréderic Campana 1; Benoît Claudon 2; Philippe Eyssidieux 3

1 Institut Élie Cartan Nancy, UMR 7502, Université de Lorraine B.P. 70239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy Cedex, France
2 UMI CNRS/IMPA Estrada Dona Castorina 110, Jardim Botânico, 22460-320, Rio de Janeiro, Brasil
3 Institut Fourier, Université Grenoble 1 38402 Saint-Martin d’Hères Cedex, France
License: CC-BY-ND 4.0
Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights
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Fréderic Campana; Benoît Claudon; Philippe Eyssidieux. Représentations linéaires des groupes kählériens et de leurs analogues projectifs. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Volume 1 (2014), pp. 331-342. doi : 10.5802/jep.12. https://jep.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jep.12/

[Ara11] D. Arapura - “Homomorphisms between Kähler groups”, in Topology of algebraic varieties and singularities, Contemp. Math., vol. 538, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011, p. 95-111 | DOI | MR | Zbl

[BL04] C. Birkenhake & H. Lange - Complex abelian varieties, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 302, Springer-Verlag, Berlin, 2004 | DOI | MR | Zbl

[BR11] O. Baues & J. Riesterer - “Virtually abelian Kähler and projective groups”, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 81 (2011) no. 2, p. 191-213 | DOI | Zbl

[Buc06] N. Buchdahl - “Algebraic deformations of compact Kähler surfaces”, Math. Z. 253 (2006) no. 3, p. 453-459 | DOI | MR | Zbl

[Buc08] N. Buchdahl - “Algebraic deformations of compact Kähler surfaces. II”, Math. Z. 258 (2008) no. 3, p. 493-498 | DOI | MR | Zbl

[Cam81] F. Campana - “Coréduction algébrique d’un espace analytique faiblement kählérien compact”, Invent. Math. 63 (1981) no. 2, p. 187-223 | DOI | Zbl

[Cam06] F. Campana - “Isotrivialité de certaines familles kählériennes de variétés non projectives”, Math. Z. 252 (2006) no. 1, p. 147-156 | DOI | Zbl

[CCE13] F. Campana, B. Claudon & P. Eyssidieux - “Représentations linéaires des groupes kählériens : factorisations et conjecture de Shafarevich linéaire” (2013), arXiv :1302.5016 | Zbl

[Cla10] B. Claudon - “Invariance de la Γ-dimension pour certaines familles kählériennes de dimension 3, Math. Z. 266 (2010) no. 2, p. 265-284 | DOI | MR | Zbl

[Del68] P. Deligne - “Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. (1968) no. 35, p. 259-278 | Numdam | Zbl

[Nak91] N. Nakayama - “Compact Kähler manifolds whose universal covering spaces are biholomorphic to n (1991), preprint RIMS no 1230, citeseerx

[Ser06] E. Sernesi - Deformations of algebraic schemes, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 334, Springer-Verlag, Berlin, 2006 | MR | Zbl

[Var84] J. Varouchas - “Stabilité de la classe des variétés kählériennes par certains morphismes propres”, Invent. Math. 77 (1984) no. 1, p. 117-127 | DOI | MR | Zbl

[Voi02] C. Voisin - Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe, Cours Spécialisés, vol. 10, Société Mathématique de France, Paris, 2002 | DOI | Zbl

[Voi04] C. Voisin - “On the homotopy types of compact Kähler and complex projective manifolds”, Invent. Math. 157 (2004) no. 2, p. 329-343 | DOI | Zbl

[Voi05] C. Voisin - “Recent progresses in Kähler and complex algebraic geometry”, in European Congress of Mathematics, Eur. Math. Soc., Zürich, 2005, p. 787-807 | MR | Zbl

[Voi06] C. Voisin - “On the homotopy types of Kähler manifolds and the birational Kodaira problem”, J. Differential Geom. 72 (2006) no. 1, p. 43-71 | DOI | Zbl

[Voi11] C. Voisin - “Chow rings, decomposition of the diagonal and the topology of families” (2011), Notes pour les Leçons Hermann Weyl, disponible sur la page http://www.math.polytechnique.fr/~voisin

Cited by Sources: