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\def\proofname{D�monstration}
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%SYMBOLES ET COMMANDES ---------------------------------------------

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\begin{document}
\frontmatter
\title[Groupes k�hl�riens et projectifs]
{Repr�sentations lin�aires des groupes k�hl�riens et de leurs analogues projectifs}

\author[\initial{F.} \lastname{Campana}]{\firstname{Fr�deric} \lastname{Campana}}
\address{Institut �lie Cartan Nancy, UMR 7502, Universit� de Lorraine\\
B.P. 70239, 54506 Vand\oe uvre-l�s-Nancy Cedex, France}
\email{Frederic.Campana@univ-lorraine.fr}

\author[\initial{B.} \lastname{Claudon}]{\firstname{Beno�t} \lastname{Claudon}}
\address{UMI CNRS/IMPA\\
Estrada Dona Castorina 110, Jardim Bot�nico, 22460-320, Rio de Janeiro, Brasil}
\email{Benoit.Claudon@univ-lorraine.fr}
\urladdr{http://iecl.univ-lorraine.fr/~Benoit.Claudon/}
\thanks{Le second auteur b�n�ficie du soutien de l'ANR (projet ANR-10-JCJC-0111) et du CNRS via un s�jour de recherche dans l'UMI IMPA/CNRS et tient � remercier l'IMPA pour l'accueil qu'il a re�u.}

\author[\initial{Ph.} \lastname{Eyssidieux}]{\firstname{Philippe} \lastname{Eyssidieux}}
\address{Institut Fourier, Universit� Grenoble 1\\
38402 Saint-Martin d'H�res Cedex, France}
\email{Philippe.Eyssidieux@ujf-grenoble.fr}
\urladdr{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eyssi/}

\begin{abstract}
Dans cette note nous �tablissons le r�sultat suivant, annonc� dans \cite{CCE}: si $G\subset \mathrm{GL}_n(\CC)$ est l'image d'une repr�sentation lin�aire d'un groupe k�hl�rien $\pi_1(X)$, il admet un sous-groupe d'indice fini qui est l'image d'une repr�sentation lin�aire du groupe fondamental d'une vari�t� projective complexe lisse $X'$.

Il s'agit donc de la solution (� indice fini pr�s) pour les repr�sentations lin�aires d'une question usuelle demandant si le groupe fondamental d'une vari�t� k�hl�rienne compacte est aussi celui d'une vari�t� projective complexe lisse.
\end{abstract}

\subjclass{32Q15, 32Q55, 32G05, 14D07}

\keywords{Groupes k�hl�riens, probl�me de Kodaira, famille lisse de tores complexes, d�formations relatives}

\alttitle{Linear representations of K�hler groups and of their projective analogues}

\begin{altabstract}
In this note we establish the following result, announced in \cite{CCE}: if $G\subset \mathrm{GL}_n(\CC)$ is the image of a linear representation of a K�hler group $\pi_1(X)$, then it has a subgroup of finite index which is the image of a linear representation of the fundamental group of some smooth complex projective variety $X'$.

This result provides thus, for linear representations, the solution (up to finite index) of a usual question asking if the fundamental group of a compact K�hler manifold $X$ is also that of a smooth complex projective variety. 
\end{altabstract}

\altkeywords{K�hler groups, Kodaira problem, smooth family of complex tori, relative deformations}

\maketitle
\tableofcontents
\vspace*{\baselineskip}
\mainmatter

\section*{Introduction}

Rappelons une question classique:

\begin{qt}\label{question pb serre}
La classe des groupes k�hl�riens\footnote{Un groupe de pr�sentation finie est dit \emph{k�hl�rien} (\resp \emph{projectif}) s'il peut �tre r�alis� comme le groupe fondamental d'une vari�t� k�hl�rienne compacte (\resp projective lisse).} co�ncide-t-elle avec celle des groupes projectifs ?
\end{qt}

Nous d�montrons ci-dessous le r�sultat partiel suivant:

\begin{thm}\label{kvsp}
Si $G\subset \mathrm{GL}_n(\CC)$ est l'image d'une repr�sentation lin�aire d'un groupe k�hl�rien $\pi_1(X)$, il existe une vari�t� projective complexe lisse $X'$ et un sous-groupe d'indice fini de $G$ qui est l'image d'une repr�sentation lin�aire de $\pi_1(X')$. En particulier, un groupe k�hl�rien lin�aire est virtuellement projectif.
\end{thm}

La motivation initiale de la question \ref{question pb serre} est le \emph{probl�me de Kodaira}: une vari�t� k�hl�rienne compacte est-elle toujours d�formation d'une vari�t� projective complexe lisse? Une r�ponse affirmative\footnote{Connue en dimensions $1$ et $2$ (Kodaira).} � ce probl�me impliquerait en particulier qu'une vari�t� k�hl�rienne compacte est toujours diff�omorphe � une vari�t� projective, et une r�ponse affirmative � la question pr�c�dente. Les contre-exemples fournis par C.\,Voisin (\cite{V04}, \cite{V06}) concernent cependant l'aspect bim�romorphe du probl�me, et conduisent � le reformuler seulement pour les mod�les minimaux (en g�n�ral singuliers) des vari�t�s k�hl�riennes compactes � fibr� canonique pseudo-effectif\footnote{Ces mod�les minimaux sont les espaces k�hl�riens compacts � singularit�s terminales et fibr� canonique semi-ample. Lorsque $K_X$ n'est pas pseudo-effectif, $X$ devrait �tre unir�gl�e et le quotient rationnel ram�nerait le calcul du groupe fondamental au cas o� $K_X$ est pseudo-effectif.}. Puisque le passage au mod�le minimal n'affecte pas le groupe fondamental, cette reformulation du probl�me de Kodaira n'affecte pas non plus la conjecture de co�ncidence des groupes k�hl�rien avec leurs analogues projectifs.

La d�monstration du th�or�me \ref{kvsp} consiste � se ramener, gr�ce au th�or�me \ref{rappel th CCE} ci-dessous, �tabli dans \cite{CCE}, au cas o� $X$ est munie d'une submersion holomorphe dont les fibres sont des tores, sur une vari�t� complexe projective lisse $Y$.

\begin{thm}\label{rappel th CCE}
Soit $Z$ une vari�t� k�hl�rienne compacte et $\rho:\pi_1(Z)\to \mathrm{GL}_N(\CC)$ une repr�sentation lin�aire de son groupe fondamental. Quitte � remplacer $Z$ par un rev�tement �tale fini, la vari�t� de Shafarevich $\Sh_\rho(Z)$ associ�e � $\rho$ est (bim�romorphe~�) une vari�t� k�hl�rienne compacte $X$ qui est l'espace total d'une fibration lisse en tores sur une vari�t� de type g�n�ral
$$Z\To{sh_\rho} X\simeq \Sh_\rho(Z)\To{s_\rho} B\simeq S_\rho(Z).$$
\end{thm}

Nous renvoyons � \cite{CCE} pour les notions utilis�es ci-dessus. La vari�t� $X$ est bim�romorphe � la vari�t� de Shafarevich de $Z$, obtenue � partir de $Z$ en contractant les sous-vari�t�s sur le $\pi_1$ desquelles $\rho$ est triviale. Les tores de la submersion $X\to\nobreak S_\rho(Z)$ sont les sous-vari�t�s maximales sur le $\pi_1$ desquelles $\rho$ a une image ab�lienne dans~$G$. La fibration $X\to B$ est donc un mod�le bim�romorphe (particuli�rement agr�able) de la fibration d'Iitaka-Moishezon de $\Sh_\rho(Z)$.

Nous r�solvons ensuite dans ce cas tr�s particulier le probl�me de Kodaira. Nous montrons en effet ci-dessous que $X$ admet (apr�s changement de base fini) une d�formation sur sa fibration jacobienne\footnote{Rappelons qu'une fibration en tores n'a pas n�cessairement de section; nous renvoyons au d�but de la section 2.} $J(X/B)$ (proposition \ref{deformation jacobienne relative}). Il est alors possible de montrer que $J(X/B)$ admet des petites d�formations au-dessus de la vari�t� projective~$B$ dont les fibres sont des vari�t�s ab�liennes (th�or�me \ref{famille tores}): ces petites d�formations sont donc alg�briques.

\subsubsection*{Remerciements}
Nous remercions vivement C.\,Voisin pour son aide dans l'�laboration de certains arguments pr�sents dans ce travail. Nous remercions �galement les rapporteurs pour leurs remarques et conseils.

\section{Une version relative du crit�re de Buchdahl}

L'ingr�dient principal est une version relative du crit�re de N.\,Buchdahl \cite{B06,B08}. Dans les travaux en question, ce crit�re �tait utilis� pour donner une d�monstration du r�sultat suivant (d� � Kodaira) ne s'appuyant pas (ou peu) sur la classification des surfaces k�hl�riennes: toute surface k�hl�rienne compacte admet des petites d�formations projectives.

\begin{thm}\label{buchdahl relatif}
Soit $\pi:X\to B$ une famille lisse, l'espace total de la famille �tant suppos� �tre une vari�t� k�hl�rienne compacte. Consid�rons une d�formation relative de $X/B$ de la forme
$$\xymatrix@=.5cm{\mathcal{X}\ar[rr]^g\ar[rd] & &U\times B\ar[ld]^{\mathrm{pr}_1}\\
&U&
}$$
et $o\in U$ un point lisse muni d'un isomorphisme $g^{-1}(\{o\}\times B)\simeq X$. Soit $\omega$ une m�trique k�hl�rienne sur $X$ et supposons que la composition de l'application induite par le produit ext�rieur et de l'application de Kodaira-Spencer relative
$$T_{U,o}\to \mathrm{H}^1(X,T_{X/B})\To{\wedge [\omega]} \mathrm{H}^0(B,R^2\pi_*\mathcal{O}_X)$$
est surjective. La famille $X/B$ admet alors des d�formations $\pi_u:\mathcal{X}_u\to B$ (avec $u$ arbitrairement proche de $o\in U$) dont toutes les fibres sont projectives. Plus pr�cis�ment, il existe sur $\mathcal{X}_u$ une classe rationnelle de type $(1,1)$ dont la restriction aux fibres de $\pi_u$ est une classe k�hl�rienne.
\end{thm}

Nous renvoyons � la r�f�rence \cite[Chap.\,3.4.2]{S06} pour les notions de th�ories des d�formations utilis�es ici.

Plusieurs remarques s'imposent. Tout d'abord, l'application de produit ext�rieur ci-dessus est en fait la composition du morphisme naturel
$$\mathrm{H}^1(X,T_{X/B})\to \mathrm{H}^0(B,R^1\pi_*T_{X/B})$$
avec le produit ext�rieur par la classe $[\omega]$ vue comme un �l�ment de $$[\omega]\in\mathrm{H}^0(B,R^1\pi_*\Omega^1_{X/B}).$$
La condition peut aussi s'exprimer en examinant la composition:
$$T_{U,o}\to \mathrm{H}^1(X,T_X)\To{\wedge \omega} \mathrm{H}^2(X,\mathcal{O}_X)\to \mathrm{H}^2(X_b,\mathcal{O}_{X_b}),$$
cette derni�re devant alors �tre surjective sur l'espace
$$\mathrm{Im}\left(\mathrm{H}^2(X,\mathcal{O}_X)\to \mathrm{H}^2(X_b,\mathcal{O}_{X_b})\right).$$
D'autre part, d'apr�s la version relative du crit�re de projectivit� de Kodaira (voir \cite[Prop.\,2.1]{C06}), les fibres de $\pi$ sont d'ores et d�j� projectives si l'application de restriction ci-dessus est identiquement nulle.

Enfin, il est important de noter que, dans une telle d�formation relative, la structure complexe de $B$ reste inchang�e et que, d'un point de vue ensembliste, l'application $\pi_u$ n'est autre que l'application $\pi$ (la structure complexe de $X$ n'est modifi�e que dans la direction des fibres).

Bien que la d�monstration du th�or�me \ref{buchdahl relatif} soit une extension ais�e de celle du crit�re �nonc� dans \cite{B06,B08}, nous la d�taillons ici pour la commodit� du lecteur.

\begin{demo}[\proofname\ du th�or�me \ref{buchdahl relatif}]
Les syst�mes locaux $R^2 (\mathrm{pr}_1\circ g)_* \QQ_{\mathcal{X}}$ et $R^2 g_* \QQ_{\mathcal{X}}$ sont munis par la construction de \cite[Chap.\,10]{V02} d'une structure de $\QQ$-variation de structure de Hodge, cette structure admettant une polarisation r�elle si $g$ en admet une --- ce qui n'est pas n�cessairement le cas. M�me en l'absence d'une polarisation, nous pouvons munir $(\mathrm{pr}_1)_* R^2g_* \QQ_{\mathcal{X}}$ d'une structure de $\QQ$-variation de structure de Hodge telle que l'�pimorphisme canonique
$$s: R^2 (\mathrm{pr}_1\circ g)_* \QQ_{\mathcal{X}} \to (\mathrm{pr}_1)_* R^2g_* \QQ_{\mathcal{X}}$$
donn� par la d�g�n�rescence de la suite spectrale de Leray \cite{D68} pr�serve les filtrations de Hodge. La filtration de Hodge $F$ de $(\mathrm{pr}_1)_* R^2g_* \QQ_{\mathcal{X}}$ est juste l'image de la filtration de
Hodge de $R^2 (\mathrm{pr}_1\circ g)_* \QQ_{\mathcal{X}}$. Pour voir que cette filtration $F$ est bien de Hodge (ce qui r�sulte de $F^i \cap \overline{F^{3-i}} = \{0\}$), il suffit de choisir $b\in B$ et d'observer que la compos�e $j\circ s$, o� $j$ est le \emph{monomorphisme} naturel de $ (\mathrm{pr}_1)_* R^2g_* \QQ_{\mathcal{X}}$
dans $R^2 h^b_* \QQ_{\mathcal{X}_b}$ (avec $h^b: \mathcal{X}_b=g^{-1}(U\times\{b\}) \to U$), est un morphisme de structure de Hodge.

Comme dans \cite[Prop.\,3.3]{V05}, le th�or�me r�sulte alors de la proposition 17.20 p.\,410 de \cite{V02} appliqu�e � la $\QQ$-variation de structure de Hodge sous-jacente au syst�me local $(\mathrm{pr}_1)_* R^2g_* \QQ_{\mathcal{X}}$.
\end{demo}

\section{Application aux familles en tores}

Dans la suite nous ferons la distinction suivante: une fibration en tores sera une submersion propre dont les fibres sont des tores complexes (quotients compacts de~$\CC^n$ par un r�seau) alors qu'une fibration jacobienne sera une famille en tores munie d'une section (ce qui revient � prescrire l'origine). Nous adopterons �galement la terminologie suivante.

\begin{defi}\label{defi jac relative}
Soit $X/B$ une famille en tores (avec $X$ une vari�t� k�hl�rienne compacte). Nous appellerons jacobienne relative de $X/B$ la fibration jacobienne\footnote{Il n'y a \emph{a priori} pas unicit� de la section mais la vari�t� $Y$ est cependant unique.}~$Y/B$ o� la vari�t� $Y$ est d�finie comme suit: si $\mathrm{H}_\ZZ$ est le syst�me local form� par les $\mathrm{H}_1$ des fibres et $\mathcal{E}$ le sous-fibr� holomorphe form� par la partie de type $(-1,0)$ de $\mathrm{H}_\ZZ\otimes \mathcal{O}_B$, la famille $Y/B$ s'obtient en consid�rant le quotient de l'espace total de $\mathcal{E}$ par le r�seau $\mathrm{H}_\ZZ$ (la section nulle passant au quotient).
\end{defi}

\begin{rem}\label{rem varouchas}
Notons que la jacobienne relative est encore une vari�t� k�hl�rienne par un th�or�me de Varouchas \cite{Va84} puisque l'on dispose d'un morphisme surjectif propre et lisse $X\times_B X \to Y$.
\end{rem}

De par la d�finition m�me, les fibres de $X/B$ et de $Y/B$ sont naturellement isomorphes et cette identification se fait \emph{via} un �l�ment appartenant � la composante neutre du groupe d'automorphismes, c'est-�-dire une translation. La famille $Y/B$ est donc obtenue � partir de $X/B$ en effectuant des translations dans les fibres pour garantir l'existence d'une section holomorphe. Par exemple, si $X$ est un tore de dimension $2$ et de dimension alg�brique $a(X)=1$ (voir \cite{BL}), la r�duction alg�brique de $X$ est une famille en tores $X/B$ sur une courbe elliptique $B$ et de fibre $E$ (dont la structure complexe est fix�e). La jacobienne relative de $X/B$ n'est autre que $E\times B$.

La fibration $X/B$ peut donc �tre vue comme un torseur sous le fibr� en groupes qu'est la jacobienne relative $Y/B$. En particulier, si $\mathcal{Y}$ d�signe le faisceau des sections de $Y/B$, il s'ins�re dans la suite exacte suivante (avec les notations de la d�finition~\ref{defi jac relative}):
\begin{equation}\label{suite exacte jac relative}
0\to \mathrm{H}_\ZZ \to \mathcal{E} \to \mathcal{Y} \to 0.
\end{equation}
Enfin, remarquons qu'une famille en tores $X/B$ d�finit naturellement une classe dans le groupe $\mathrm{H}^1(B,\mathcal{Y})$. En effet, si $s_i$ et $s_j$ sont deux sections locales de $X/B$ (d�finies sur des ouverts $U_i$ et $U_j$), alors la diff�rence $s_{i,j}:=s_i-s_j$ est bien d�finie (ind�pendamment du choix d'une origine dans les fibres) et se trouve �tre une section locale de $Y/B$ sur $U_i\cap U_j$. La collection des $s_{i,j}$ est un cocycle de \v{C}ech de degr� 1 et fournit bien une classe
$$e_h(X/B)\in \mathrm{H}^1(B,\mathcal{Y}).$$

\subsection{Topologie des familles en tores}
Nous allons maintenant d�crire la topologie des familles en tores (avec espace total k�hl�rien) et montrer qu'une famille en tores se d�forme vers sa jacobienne relative (apr�s changement de base �tale fini). Certains des r�sultats montr�s ci-dessous sont �galement pr�sent dans le travail de Nakayama \cite{Nak}.	

Soit donc $\pi:X\to B$ une famille en tores (la vari�t� diff�rentiable sous-jacente aux fibres �tant toujours not�e $F$) dont l'espace total est une vari�t� k�hl�rienne compacte. La d�g�n�rescence de la suite spectrale de Leray (\emph{via} le th�or�me des cycles invariants) implique facilement (voir \cite{Cl10}) que la suite des groupes fondamentaux:
\begin{equation}\label{suite exacte gf}
1\to \pi_1(F)\to \pi_1(X)\to\pi_1(B)\to 1
\end{equation}
est exacte. Rappelons-en bri�vement la d�monstration. Consid�rons la fibration (de~fibre~$F$) $\tilde{\pi}:\tilde{X}\to \tilde{B}$ obtenue par image r�ciproque sur $\tilde{B}$ rev�tement universel de~$B$. La suite exacte d'homotopie pour cette fibration s'�crit:
$$0\to K\to \pi_1(F)\to \pi_1(\tilde{X})\to 0,$$
o� $K$ est un sous-groupe de $\pi_1(F)$, en particulier ab�lien sans torsion. En la dualisant, nous obtenons:
$$0\to \mathrm{H}^1(\tilde{X},\QQ)\to \mathrm{H}^1(F,\QQ)\to \mathrm{Hom}(K,\QQ)\to 0.$$
Or, le th�or�me des cycles invariants (voir par exemple \cite[th.\,16.18, p.\,381]{V02}) affirme que l'application de restriction $\mathrm{H}^1(\tilde{X},\QQ)\to \mathrm{H}^1(F,\QQ)$ est surjective\footnote{Nous pouvons en effet appliquer ce r�sultat puisque le morphisme $\tilde{\pi}$ est propre et que l'on dispose d'une classe dont la restriction aux fibres est une classe k�hl�rienne (par exemple l'image r�ciproque sur $\tilde{X}$ d'une classe k�hl�rienne provenant de $X$). On pourra se reporter � la remarque 16.16 de \cite{V02}.}. Comme~$K$ est ab�lien sans torsion, cela implique que $K$ est trivial et le groupe fondamental de $F$ s'injecte dans celui de $X$ (dans un rev�tement l'application est injective au niveau du $\pi_1$).

Il est bien connu qu'une suite exacte comme (\ref{suite exacte gf}) d�termine une classe d'extension
$$e(X/B)\in\mathrm{H}^2(\pi_1(B),\pi_1(F)).$$
D'autre part, si l'on consid�re la jacobienne relative $Y\to B$ (voir ci-dessus), la famille initiale d�termine un �l�ment de $e_h(X/B)\in\mathrm{H}^1(B,\mathcal{Y})$. Ces deux classes de cohomologie sont reli�es entre elles de la fa�on suivante. La suite exacte longue de cohomologie associ�e � la suite courte (\ref{suite exacte jac relative}) fournit une fl�che naturelle
$$\mathrm{H}^1(B,\mathcal{Y})\to \mathrm{H}^2(B,\mathrm{H}_\ZZ).$$
Notons $e_{\topo}(X/B)$ l'image de $e_h(X/B)$ dans $\mathrm{H}^2(B,\mathrm{H}_\ZZ)$. Sous l'injection naturelle
$$\mathrm{H}^2(\pi_1(B),\pi_1(F))\hto \mathrm{H}^2(B,\mathrm{H}_\ZZ),$$
l'image de $e(X/B)$ n'est autre que la classe $e_{\topo}(X/B)$.

Il r�sulte du th�or�me principal de \cite{A11} que les classes $e$ et $e_{\topo}$ sont des classes de torsion (c'est � nouveau une cons�quence de la d�g�n�rescence\footnote{Dans notre cas, l'argument d'Arapura se r�duit bien � cela. En effet, la classe d'extension $e(X/B)$ est (au signe pr�s) $d_2(\mathrm{id})$ o� $d_2$ est la diff�rentielle
$$d_2:E^{1,0}_2=\mathrm{H}^0(\pi_1(B),\mathrm{H}^1(\pi_1(F),V))=\mathrm{Hom}_{\pi_1(X)}(V,V)\to \mathrm{H}^2(\pi_1(B),V)=E^{2,0}_2$$
de la suite spectrale de Hochschild-Serre d�duite de la suite exacte (\ref{suite exacte gf}) pour le $\pi_1(X)$-module $V:=\pi_1(F)$. Le groupe $\pi_1(F)$ �tant ab�lien, $V$ est en fait un syst�me local d�fini sur $B$. La suite spectrale de Leray associ�e au morphisme $f:X\to B$ et au faisceau $f^*V_\QQ$ d�g�n�re en $E_2$ et ceci montre bien que $e(X/B)$ est nulle en cohomologie � coefficients rationnels ou, en d'autres termes, que c'est bien une classe de torsion.} de la suite spectrale de Leray). Cette remarque suffit � montrer que la suite exacte (\ref{suite exacte gf}) est scind�e apr�s rev�tement �tale fini de la base (et m�me que $X/B$ admet une section diff�rentiable apr�s ce m�me changement de base). En effet, si $n$ d�signe l'ordre de torsion de la classe $e$, la suite longue associ�e � la suite courte de syst�me locaux
$$0\to \mathrm{H}_\ZZ\To{\times n} \mathrm{H}_\ZZ \to \mathrm{H}_\ZZ/n\mathrm{H}_\ZZ\to 0$$
montre que la classe $e$ provient en fait de
$$\mathrm{H}^1(B,\mathrm{H}_\ZZ/n\mathrm{H}_\ZZ)=\mathrm{H}^1(\pi_1(B),\mathrm{H}_\ZZ/n\mathrm{H}_\ZZ).$$
Le groupe ab�lien sous-jacent � $\mathrm{H}_\ZZ/n\mathrm{H}_\ZZ$ �tant fini, nous pouvons consid�rer un sous-groupe d'indice fini $G$ de $\pi_1(B)$ qui agit trivialement sur $\mathrm{H}_\ZZ/n\mathrm{H}_\ZZ$. Le groupe de cohomologie correspondant s'identifie alors �
$$\mathrm{H}^1(G,\mathrm{H}_\ZZ/n\mathrm{H}_\ZZ)=\mathrm{Hom}(G,\mathrm{H}_\ZZ/n\mathrm{H}_\ZZ).$$
En consid�rant le rev�tement correspondant au noyau du morphisme induit par la classe $e_{\vert G}$, on obtient le scindage voulu. R�sumons la discussion pr�c�dente dans l'�nonc� suivant.

\begin{prop}\label{topologie famille tore}
Soit $X/B$ une famille en tores dont l'espace total est un vari�t� k�hl�rienne compacte. Apr�s changement de base �tale fini, la classe $e_{\topo}(X/B)$ s'annule et cette famille poss�de une section (diff�rentiable); en particulier, le groupe fondamental de $X$ devient un produit semi-direct
$$\xymatrix@C=.5cm
{1\ar[r]& \pi_1(F)\ar[r]& \pi_1(X)\ar[r]&\pi_1(B)\ar@/_.8pc/[l]\ar[r]& 1.}$$
\end{prop}

\begin{rem}\label{rq non kahler}
L'hypoth�se concernant le caract�re k�hl�rien de l'espace total est bien entendu essentielle comme le montre l'exemple des surfaces de Hopf (celles admettant une fibration elliptique sur $\PP^1$) ou celui de la vari�t� d'Iwasawa (qui admet une fibration elliptique sur un tore complexe de dimension~$2$). Dans le cas des surfaces de Hopf, le groupe fondamental de la fibre ne s'injecte pas dans celui de l'espace total alors que dans l'exemple de la vari�t� d'Iwasawa, la suite exacte n'est pas scind�e. C'est donc bien � travers la d�g�n�rescence de la suite spectrale de Leray que l'hypoth�se K�hler intervient de fa�on cruciale.
\end{rem}

\subsection{Famille en tore et fibration jacobienne}

La classe $e(X/B)$ mesure �galement l'obstruction � d�former $X/B$ vers sa jacobienne relative $Y/B$.

\begin{prop}\label{deformation jacobienne relative}
Soit $X/B$ une famille de tores. Si $e(X/B)=0$, $X/B$ et $Y/B$ sont d�formations l'une de l'autre.
\end{prop}

\begin{demo}
Si la classe $e(X/B)$ s'annule dans $\mathrm{H}^2(B,\mathrm{H}_\ZZ)$, la suite longue associ�e � la suite (\ref{suite exacte jac relative}) montre que $e_h(X/B)$ provient de $\mathrm{H}^1(B,\mathcal{E})$. Or, une classe dans le groupe $\mathrm{H}^1(B,\mathcal{E})$ correspond � une extension
$$0\to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to \mathcal{O} \to 0$$
du fibr� $\mathcal{E}$ par le fibr� trivial. A nouveau, nous pouvons faire op�rer le r�seau $\mathrm{H}_\ZZ$ sur $\mathbb{F}$ l'espace total de $\mathcal{F}$ par translation. La vari�t� complexe obtenue admet naturellement une submersion (propre) sur l'espace total de $\mathcal{O}_B$:
$$\epsilon:\mathbb{F}/\mathrm{H}_\ZZ\to \CC.$$
Il est clair que le fibre de $\epsilon$ au-dessus de $0$ n'est autre que $Y$; il n'est pas moins �vident que celle au-dessus de $1$ s'identifie � $X$.
\end{demo}

\Subsection{D�formations relatives des fibrations jacobiennes}

\begin{thm}\label{famille tores}
Soit $\pi:X\to B$ une fibration jacobienne, $X$ �tant toujours suppos�e k�hl�rienne compacte. La famille $X/B$ admet des petites d�formations de telle sorte que les fibres de $\pi$ soient des vari�t�s ab�liennes. En particulier, si $B$ est une vari�t� projective, $X$ admet des petites d�formations projectives.
\end{thm}

Avant de donner la d�monstration de ce dernier r�sultat, �non�ons-en la cons�quence suivante qui f�t la motivation principale de cette note.

\begin{cor}\label{cor tores}
Si $\pi:X\to B$ est une famille en tores avec $X$ k�hl�rienne compacte et si $B$ est de plus une vari�t� projective, apr�s rev�tement �tale fini $X$ peut se d�former en une vari�t� projective; en particulier, son groupe fondamental est virtuellement celui d'une vari�t� projective.
\end{cor}

\begin{demo}[\proofname\ du corollaire \ref{cor tores}]
Il suffit dans un premier temps d'appliquer la proposition \ref{topologie famille tore} pour annuler $e_{\topo}(X/B)$ apr�s un rev�tement fini de $B$. La proposition~\ref{deformation jacobienne relative} montre que dans cette situation $X/B$ se d�forme � sa jacobienne relative $Y/B$. Cette famille �tant munie d'une section et $Y$ �tant encore k�hl�rienne (remarque \ref{rem varouchas}), appli\-quons le th�or�me \ref{famille tores} � la famille $Y/B$: nous pouvons d�former $Y$ en une famille en tores dont les fibres et la base sont alg�briques. L'espace total de cette d�formation est alors alg�briquement connexe (car la fibration est toujours munie d'une section) donc alg�brique\footnote{Nous pouvons �galement raisonner de la mani�re suivante:
les arguments ci-dessus montrent qu'apr�s d�formation il existe une classe $\alpha\in H^2(X,\QQ)$ dont la restriction aux fibres est celle d'une classe de Hodge. Or, dans le cas des familles de tores, la d�g�n�rescence de la suite de Leray fournit en fait une d�composition canonique en sous-structures de Hodge
$$H^k(X,\QQ)\simeq \bigoplus_{i+j=k}H^i(B,R^jf_*\QQ)$$
(voir \cite{V11}). Nous pouvons donc supposer que $\alpha$ est de type (1,1) et la classe $\alpha+f^*(\omega_B)$ est donc une classe de Hodge (avec $\omega_B$ polarisation sur $B$).} d'apr�s \cite{C81}.
\end{demo}

\begin{demo}[\proofname\ du th�or�me \ref{famille tores}]
Comme nous consid�rons une fibration jacobienne avec espace total k�hl�rien, les d�formations relatives de la structure complexe sont les m�mes que celles du syst�me local $\mathcal{H}_R:=(\mathrm{H}_1(X_b,\RR))_{b\in B}$. Nous cherchons ici � d�former la structure complexe $I$ donn�e par la th�orie de Hodge usuelle
\begin{equation}\label{structure usuelle}
(\mathcal{H}^*_\CC)^{1,0}:=\pi_*\Omega^1_{X/B}.
\end{equation}
Nous allons montrer que d'une part certains �l�ments de
$$A_\RR=\mathrm{H}^0(B,\mathcal{E}\!nd(\mathcal{H}_\RR))$$
s'identifient � des d�formations infinit�simales et d'autre part que ces d�formations ne sont pas obstru�es. Il nous restera � identifier leurs images dans $\mathrm{H}^2(X_b,\mathcal{O}_{X_b})$ pour constater que le crit�re \ref{buchdahl relatif} s'applique.

Soit donc $\varphi$ un �l�ment de $A_\RR$. Nous souhaitons d�former la structure complexe $I$, c'est-�-dire construire un d�veloppement (au moins formel) de la forme:
$$I_t=I+t\varphi_1+t^2\varphi_2+\cdots$$
avec $I_t^2=-1$ et $\varphi_1=\varphi$. La condition � l'ordre 1 est la suivante: $\varphi$ doit anti-commuter avec $I$. De fa�on plus intrins�que, le th�or�me des cycles invariants permet de munir
$$A_\RR=\left(\mathrm{H}_1(X_b,\RR)\otimes \mathrm{H}^1(X_b,\RR)\right)^{\pi_1(B,b)}$$
d'une structure de Hodge de poids 0 et les �l�ments de $A_\RR$ qui sont de type $(1,-1)$ ou $(-1,1)$ sont exactement ceux qui anti-commutent avec $I$. Il nous reste � v�rifier que ces d�formations infinit�simales ne sont pas obstru�es (ceci est �vident dans le cas des tores complexes mais ici nous devons prendre en compte l'action du groupe de monodromie); c'est l'objet du lemme \ref{structure complexe syst local} ci-dessous.

Les d�formations infinit�simales comme ci-dessus peuvent s'obtenir de la fa�on suivante; consid�rons pour cela l'application de restriction
$$j_b^*:\mathrm{H}^2(X,\RR)\to \mathrm{H}^2(X_b,\RR)$$
et remarquons que, $X_b$ �tant un tore, ce dernier groupe de cohomologie s'identifie �
$$\mathrm{H}^2(X_b,\RR)=\bigwedge^2 \mathrm{H}_1(X_b,\RR)^*.$$
Nous pouvons donc consid�rer les �l�ments de l'image de $j_b^*$ comme des formes bilin�aires sur le syst�me local $\mathcal{H}_\RR$ ou encore comme des morphismes de $\mathcal{H}_\RR\to\mathcal{H}^*_\RR$. Enfin, le choix d'une classe k�hl�rienne globale $[\omega]$ fournit un isomorphisme de $\mathcal{H}_\RR$ vers son dual et nous pouvons consid�rer des �l�ments de la forme
$$\varphi=[\omega]^{-1}\circ\eta\in A_\RR=\mathrm{H}^0(B,\mathcal{E}\!nd(\mathcal{H}_\RR))$$
avec $\eta\in \mathrm{Im}(j_b^*)$. D'apr�s le lemme \ref{structure complexe syst local} ci-dessous, les d�formations infinit�simales ainsi construites ne sont pas obstru�es et il existe donc une d�formation relative
$$g:\mathcal{X}\to B\times U$$
de $X/B\simeq g^{-1}(B\times\{o\})$ avec $o\in U$ un point lisse de telle sorte que $\varphi$ s'identifie � un vecteur tangent de $T_{U,o}$. Il est alors clair que la contraction de (l'image par l'application de Kodaira-Spencer de) $\varphi$ avec la classe $[\omega]$ n'est autre que $\eta^{0,2}$ vue dans $\mathrm{H}^2(X_b,\mathcal{O}_{X_b})$ (on se reportera � la discussion qui suit l'�nonc� du th�or�me \ref{buchdahl relatif}). La composition des applications
$$T_{U,o}\to \mathrm{H}^1(X,T_X)\To{\wedge \omega} \mathrm{H}^2(X,\mathcal{O}_X)\to \mathrm{H}^2(X_b,\mathcal{O}_{X_b})$$
a donc pour image le sous-espace
$$\mathrm{Im}\left(\mathrm{H}^2(X,\mathcal{O}_X)\to \mathrm{H}^2(X_b,\mathcal{O}_{X_b})\right).$$
Le th�or�me \ref{buchdahl relatif} s'applique donc et $X$ admet des d�formations (arbitrairement petites) au-dessus de $B$ dont les fibres sont projectives\footnote{Rappelons que si la partie de type $(0,2)$ de l'image de $j_b^*$ est nulle, nous savons d�j� que les fibres sont projectives par \cite[Prop.\,2.1]{C06} et il n'y a donc pas besoin de d�former la fibration.}.

Nous avons utilis� ci-dessus le lemme suivant.

\begin{lem}\label{structure complexe syst local}
Reprenons les notations ci-dessus. Les d�formations infinit�simales donn�es par $A_\RR\cap(A_\CC^{1,-1}\oplus A_\CC^{-1,1})$ ne sont pas obstru�es.
\end{lem}

\begin{demo}
Consid�rons le groupe $G:=\mathrm{Aut}(\mathcal{H}_{\RR})$. Le groupe $G$ est le groupe des inversibles de l'alg�bre $A_\RR=\mathrm{End}(\mathcal{H}_{\RR})$ et son complexifi� $G_{\CC}$ est le groupe des endomorphismes inversibles de $A_\CC=\mathrm{End}(\mathcal{H}_{\CC})$. Pour $g\in G$ on peut construire $I^g=gIg^{-1}$ qui est une structure complexe sur $\mathcal{H}_\RR$ d�finissant automatiquement une famille holomorphe (\emph{i.e.} la partie de type $(1,0)$ est un sous-fibr� holomorphe de $\mathcal{H}_{\CC}$) et $X^g \to B$ est une famille de tores sur $B$.

En effet, la connexion plate sur $\mathcal{H}_{\RR}$ d�finit un scindage diff�rentiable $T_X= \pi^* T_B \oplus\nobreak T_{X|B}\simeq \pi^*T_B \oplus \pi^* \mathcal{H}_{\RR}$. La structure presque complexe de $X$ se scinde de fa�on compatible sous la forme $\pi^* J_B \oplus \pi^* J_{X|B}$
o� $J_B$ est la structure presque complexe de $B$ et $J_{X|B}$ est la structure complexe (\ref{structure usuelle}) sur $\mathcal{H}_{\RR}$.
Le rev�tement universel $\tilde X \to X$ est (par~transport parall�le bas� en $\tilde b \in B$) diff�omorphe � $\tilde B \times \mathcal{H}_{\RR, \tilde b}$ et sa structure presque complexe se scinde de fa�on compatible en $J_{\tilde X}= J_{\tilde B}\oplus J_{\mathcal H}$ o� les deux
structures presque complexes ne d�pendent que des param�tres de $\tilde B$.

Si $g\in \mathrm{Aut}(\mathcal{H}_{\RR})\subset \mathrm{Aut}(\mathcal{H}_{\RR, \tilde b})$ on d�finit une structure presque complexe $J^g$ sur $X$ par la formule $J^g:=\pi^* J_B \oplus \pi^* g. J_{X|B}.g^{-1}$. Son rel�vement $J^g_{\tilde X}$ � $\tilde X$ est manifestement �gal � $\phi^{-1}. J_{\tilde X}$ o� $\phi: \tilde X \to \tilde X$ est
le diff�omorphisme $(b, h)\mto (b, g.h)$ --- on utilise ici de fa�on cruciale que $g$ ne d�pend pas de $b$. Le th�or�me de Newlander-Nirenberg implique alors que $J^g_{\tilde X}$ donc $J^g$ est int�grable.

Les endomorphismes de $\mathcal{H}_{\RR}$ commutant � $I$ forment exactement la partie de type $(0,0)$ de la structure de Hodge r�elle de poids $0$ sur $A_\RR$ (structure de Hodge dont les composants possiblement non triviaux sont de type $(-1,1)$, $(0,0)$ et $(1,-1)$). Il s'ensuit que le groupe $G^0$ des automorphismes commutant � $I$ n'est autre que $G\cap F^0 A_{\CC}$ qui est un ouvert dans $A_{\RR}^{0,0}$. Le groupe des inversibles de $F^0 A_{\CC}$ est lui not� $F^0 G_{\CC}$.

On constate alors que $G/G^0 \to G_{\CC} / F^0 G_{\CC}$ est un hom�omorphisme local ce qui fournit une structure complexe sur $D=G/G^0$. De plus, l'espace tangent (au~point base correspondant � $I$) � $D$ s'identifie bien aux d�formations infinit�simales \hbox{$A_\RR\cap(A_\CC^{1,-1}\oplus A_\CC^{-1,1})$}.

On regarde l'espace total $\mathrm{H}_{\CC} / B$ du complexifi� de $\mathcal{H}_{\RR}$. Les translations par le sous-fibr� holomorphe $V$ et le syst�me local $\mathrm{H}_{\ZZ}$ fournissent une relation d'�quivalence holomorphe (qui localement sur $B$ est la relation d'�quivalence sous-jacente � une action de groupe) dont le quotient est $X/B$. On d�finit alors un automorphisme holomorphe $\phi$ de fibr�s vectoriels $(\mathcal{H}_{\CC}/B) \times G_{\CC}$ par $(h,g)\mto (gh,g)$ ce qui permet de d�finir le sous-fibr� holomorphe $\phi\cdot V \subset \mathrm{H}_ {\CC}\times G_\CC / B\times G_\CC$. On peut faire agir le syst�me local $\mathrm{H}_{\ZZ}$ sur $\mathcal{H}_{\CC}\times G_\CC/ B\times G_\CC$ sans tordre par $G$ c'est-�-dire en prenant pour chaque $g\in G_\CC$ l'action originelle sur $\mathcal{H}_{\CC}$. Le quotient de $\mathrm{H}_{\CC}$ par la relation d'�quivalence engendr�e par $\phi\cdot V $ et $\mathrm{H}_{\ZZ}$ fournit au-dessus d'un voisinage $U$ de l'identit� dans $G$ une famille holomorphe de d�formations de $X/B$ qui descend manifestement � un voisinage de la classe de l'identit� dans $D$ et r�alise les d�formations infinit�simales prescrites.
\end{demo}

Ceci conclut �galement la d�monstration du th�or�me \ref{famille tores}.
\end{demo}

\begin{qt}
Nous ne savons pas si la conclusion du th�or�me \ref{cor tores} persiste sans remplacer $X$ par un rev�tement �tale fini. Comme ce rev�tement provient de la base de la fibration $f:X\to B$, il faudrait �tudier le probl�me de fa�on �quivariante, c'est-�-dire lorsqu'un groupe fini $\Gamma$ agit � la fois sur $X$ et $B$ et que $f$ est �quivariante pour les actions consid�r�es. L'adaptation � ce cadre �quivariant du th�or�me \ref{famille tores} ne semble en effet pas imm�diate.

Notons que le cas o� $B$ est un point est trait� dans l'article \cite{BR} et montre en particulier que la question \ref{question pb serre} a une r�ponse positive dans le cas virtuellement ab�lien: un groupe k�hl�rien virtuellement ab�lien est aussi le groupe fondamental d'une vari�t� projective lisse.
\end{qt}

\backmatter
\bibliographystyle{jepalpha}
\bibliography{claudon-et-al}
\end{document}

